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分数の計算

目次を作りました。順番に見てね

分数の掛け算、分数の足し算の考え方について
 前回の説明では、少し分かりにくかったので、もう少し考えてみました。その前に前回までの復習です。足し算の意味は集合、掛け算の意味は合体、引き算の意味は分散、割り算の意味は分割、分数は割合を意味しています。掛け算や分数が「率」を表していることは解かってもらえたと思いますが、再度解かりやすくします。
 まず足し算・引き算と掛け算・割り算の意味の違いですが、足し算・引き算は「額(数値)」の問題です。額とは数字の大きさのことです。掛け算・割り算は「比率」の問題です。割合とは大きさを表しているのでなく、「対比」という比較の見方です。対比ということなので、ある基準となるものと比較するものとがあります。掛け算・割り算は比較なので率を表していることになります。掛け算では4×3=4つを3倍にしなさいということを意味していることになります。

「額」はそのものの数値の大きさを表し、「率」は比較の大きさを表しています。
足し算の2+2=4ですが、掛け算では2×2倍=4ということです。掛け算では、この倍という単位を表記していません。
例えば2+2+2=6と2×3=6の違いは、
足し算では、そのまま足していきますが、掛け算では2が3つあるということで、2×3倍=6ということです。

これを図にすると
足し算の2+2+2は
2+2+2=○○+○○+○○=○○○○○○です。 二つと二つと二つを合わすと6つになります。という意味です。
では掛け算の2×3は
2×3=○○×3=○○と○○と○○です。 掛け算では二つある○○を、もう二つ作りなさい。つまり○○を3倍にしなさいといった意味です。だから○○が3つできます。対比という考え方なので○○が3倍(○○が3対)ということです。

ここでの注意は足し算での結果はそのまま額(数値)としてみることができますが、掛け算・割り算では比率として見なければなりません。2×3は基準値2に対して3倍という意味です。

 割り算では2÷4=0.5ですが、これは2つのものを4つにわけなさいということです。対して分数の2/4=0.5若しくは百分率で50%です。これは4つのうちの2つという含有率のことです。この場合対比の基準となるのは分母です。分母に対してどうであるかと言うことです。
掛け算は「倍数」、割り算は「分割」です。そして分数は「分配」です。つまり分配率です。
足し算は○○+○○=○○○○ これを数値で表すと2+2=4です。
掛け算は○○×2倍=○○と○○ 掛け算では合体(結合)を意味しているので
分数は○○○○個のうちの○○個といった割合(含有)を意味しています。

分数の計算について、
その意味と計算の仕方
約分とは
では2/4 = 1/2 となることを約分といいますがなぜ、2/4がその半分の1/2になるのかという疑問です。
これを解かりやすくしてみると
○ が4つあり、そのうちの2つといういみです。
上では○○○○のうち二つですから○○●●です。 ●が該当の二つということです。
これを図の分数にすると●●/○○●●です。4つのうちの二つです。数値では2/4です。
そこで約分の方法ですが、●×2/○×2と●×2です。
これを整理すると●×2/○●×2です。 そこで注目するのが数字の2です。数字だけを抜き出してみると2/2です。つまり1です。分数は比率で考えるので、2/2=1
●/○● ×1です。つまり●/○●です。よって1/2となります。
これを文で説明すると2/4は 分母には2の塊が2つ(2×2)、分子には2の塊が1つ(2×1)です。分母が2つで分子が1つ、だから1/2となります。
 15/3では、共通の塊が3となるので、分子は3の塊が5個(3×5)、分母は1個(3×1)なので約分すると5/1で5となります。約分は共通の塊を作って、その塊を最小単位に分けるということです。分数の考え方は率なので、率的には 2/4 も 1/2 も同じ比率なので問題はありません。分子を1とすると分母は2です。分子と分母は1:2ということなります。2/4も1/2も同じ1:2の比率ということです。

通分とは
 分数と分数の足し算です。ここでまず、分数の足し算と分数の掛け算の違いについて理解しておくことが必要です。
1/2+1/2 と 1/2×1/2の違いは加算と割合の違いということです。加算の計算は増えますが、割合の計算は減ります。このことを数字で考えると1/2+1/2=0.5+0.5で1となります。1/2×1/2=0.5×0.5=0.25です。1/2+1/2は0.5が二つで「1」です。1/2×1/2=半分の半分なので「0.25」です。

 ここで問題となるのが分母の計算です。分母の足し算は通分しないとダメ、分母の掛け算は、そのまま掛けてよい。なかなか難しい問題ですね。意味合いを考えるならば上記の考え方ですね。でも実際の計算になると同でしょうか?子供に教える時にはもう暗記してもらうしかありませんね。多分殆どの人が暗記だと思いますが。分数同士の足し算は額の問題なので数が増える加算、分数同士の掛け算では率が問題なので数が減る減算となるという感じで覚えるしかないのかな?

 ここで大切なのは、「分母がもつ意味」を分かりやすくすることと「足し算と掛け算の違い」を理解することの2点です。例えば分母はグループを表している意味合いだとすると、分数同士の足し算ではグループが違うので、同じグループに変換する必要があります。しかし、分数同士の掛け算では、率(割合)を表現しているのでそのまま掛けて計算できます。といった感じはどうかな?

分数の足し算では
1/2+1/3=?? では分母が2のグループと分母が3のグループを同じグループにするために、分母を2×3で6のグループにします。そうすると1/2は分母に3を掛けているので、分子にも3を掛けます。つまり1/2×3/3=3/6です。1/3は1/3×2/2=2/6です。よって3/6+2/6=3+2/6=5/6となります。

 分母をグループとして表現した理由は、分数が意味するところが分配であるからです。分配をする場合、分子は分母から分けた数です。だから分子といいます。
例えば、売掛金/1日あたりの売上金額=・・これは売掛金を何日で回収できるかという回収日数を示しています。買掛金/1日あたりの仕入れ金額=・・・これは回収日数の反対で支払い日数を示しています。そこで回収日数が10日、支払い日数が12日だとすると、10−12=−2・・支払いが2日先行していることになります。これは間違いです。
ここで数字を記入して見ます。
売掛金60、1日あたりの売上金額6、
買掛金48、1日あたりの仕入金額4
そうすると回収日数は売掛金/1日あたりの売上金額=60/6=10日
支払い日数は買掛金/1日あたりの仕入れ金額=48/4=12日です。
だからといって10−12=−2とはなりません。これは計算できないのです。
この式の間違いは分母が違うと言うことです。
正しい式は回収日数は 売掛金/1日あたりの売上金額=60/6=10日
支払い日数は 買掛金/1日あたりの売上金額=48/=8日です。よって回収サイトと支払いサイトの差は10−8=2です。回収が2日早いことになります。先ほどの計算式では支払いが2日先行していましたが、まったく逆の答えとなっています。これでは対策が逆になってしまいます。このように分母を同じにして考えなくてはいけないと言うことが理解できたでしょうか?
(売掛金ー買掛金)/1日の売上金額=(60−48)/6=12/6=2です。このことを言葉で説明すると買掛金の支払いも売上を回収した中から払われます。よって買掛金の支払いサイトを計算する場合でも売上で割らなくてはいけません。これが分母のもつ意味です。同じグループ内でのやり取りを表したのが分数の足し算、引き算です。



分数の掛け算では
1/2×1/3=?? では「率」の問題なので、グループ関係なくそのまま掛けます。そうすると1/2×1/3=1/6となります。

こんな感じで分かります?????




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